Atualizado em 25 de setembro de 2026.

As funções do 1º e do 2º grau aparecem em provas de Matemática de nível médio e superior, principalmente em questões contextualizadas: preço de uma corrida de táxi, custo de produção, lucro de uma empresa, trajetória de um objeto. As bancas raramente pedem gráficos desenhados; o que se pede é interpretar coeficientes, encontrar raízes, calcular o vértice e o valor máximo ou mínimo. Este guia explica esses pontos com problemas resolvidos, todos com os cálculos conferidos.

As equações que dão origem às raízes das funções estão no guia de equações e sistemas.

O que é uma função

Uma função associa a cada valor de uma grandeza, a variável x, um único valor de outra, f(x) ou y. O conjunto dos valores que x pode assumir é o domínio, e o conjunto dos valores que f(x) assume é a imagem. Exemplo do dia a dia: o valor da conta de água é função do consumo.

Função do 1º grau ou afim

Tem a forma f(x) = ax + b, com a diferente de zero, e seu gráfico é uma reta.

  • Coeficiente angular, a: indica quanto f(x) varia quando x aumenta uma unidade. Se a > 0, a função é crescente; se a < 0, decrescente.
  • Coeficiente linear, b: é o valor de f quando x = 0, ou seja, o ponto em que a reta corta o eixo y.
  • Raiz ou zero: o valor de x que faz f(x) = 0. É x = −b/a, o ponto em que a reta corta o eixo x.

Problema do táxi: uma corrida custa R$ 5,00 de bandeirada mais R$ 2,00 por quilômetro. A função é f(x) = 2x + 5, em que x é a distância em quilômetros. Uma corrida de 10 km custa f(10) = 20 + 5 = R$ 25,00. Com R$ 40,00, é possível andar 2x + 5 = 40, ou seja, x = 17,5 km.

Encontrando a função por dois pontos: se uma função afim passa pelos pontos (1, 5) e (3, 11), o coeficiente angular é a variação de y dividida pela variação de x: a = (11 − 5) ÷ (3 − 1) = 3. Substituindo o ponto (1, 5), temos 5 = 3 × 1 + b, então b = 2. A função é f(x) = 3x + 2.

Ponto de equilíbrio: uma empresa tem custo C(x) = 1.000 + 20x e receita R(x) = 45x, em que x é o número de unidades vendidas. O equilíbrio, sem lucro nem prejuízo, ocorre quando R = C: 45x = 1.000 + 20x, então 25x = 1.000 e x = 40 unidades. Acima disso, há lucro.

Função linear: quando b = 0, a função afim é chamada de linear, f(x) = ax, e sua reta passa pela origem. É o caso das grandezas diretamente proporcionais, tema do guia de razão e proporção.

Função do 2º grau ou quadrática

Tem a forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero, e seu gráfico é uma parábola.

  • Concavidade: se a > 0, a parábola tem a abertura para cima e o vértice é ponto de mínimo; se a < 0, a abertura é para baixo e o vértice é ponto de máximo.
  • Raízes: são as soluções de ax² + bx + c = 0, calculadas por Bhaskara. O discriminante, Δ = b² − 4ac, indica quantas vezes a parábola corta o eixo x: duas se Δ > 0, uma se Δ = 0, nenhuma se Δ < 0.
  • Termo c: é o ponto em que a parábola corta o eixo y.
  • Vértice: x do vértice = −b ÷ 2a; y do vértice = −Δ ÷ 4a, ou simplesmente f calculada no x do vértice.

Exemplo: em f(x) = x² − 6x + 5, a = 1, positivo, então há ponto de mínimo. O x do vértice é 6 ÷ 2 = 3, e o valor mínimo é f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. As raízes são 1 e 5, porque somam 6 e multiplicadas dão 5. Repare que o x do vértice, 3, fica exatamente no meio das raízes.

Problema de lucro máximo

O lucro de uma empresa, em milhares de reais, é dado por L(x) = −x² + 40x − 300, em que x é a quantidade produzida, em centenas de unidades. Qual a produção que maximiza o lucro, e qual é esse lucro?

  1. Como a = −1, negativo, a parábola tem ponto de máximo, no vértice.
  2. O x do vértice é −40 ÷ (2 × −1) = 20, ou seja, 2.000 unidades.
  3. O lucro máximo é L(20) = −400 + 800 − 300 = 100, ou seja, R$ 100 mil. Pela fórmula, Δ = 1.600 − 1.200 = 400, e −Δ ÷ 4a = −400 ÷ −4 = 100, o mesmo resultado.
  4. As raízes, 10 e 30, indicam as produções em que o lucro é zero. Entre elas, há lucro; fora delas, prejuízo.

Estudo do sinal

Muitas questões perguntam para quais valores de x a função é positiva ou negativa. Na função afim crescente, ela é negativa antes da raiz e positiva depois. Na quadrática com a > 0 e duas raízes, ela é positiva fora do intervalo entre as raízes e negativa entre elas; com a < 0, é o contrário. No problema do lucro, L(x) é positivo entre 10 e 30, o intervalo em que a empresa tem lucro.

Lendo gráficos

Muitas questões trazem o gráfico e pedem a função, ou o contrário. Na reta, o ponto em que ela corta o eixo y dá o coeficiente b, e a inclinação dá o coeficiente a: se a reta sobe da esquerda para a direita, a é positivo. Na parábola, o ponto em que ela corta o eixo y dá o termo c, os pontos em que corta o eixo x são as raízes, e a abertura para cima ou para baixo indica o sinal de a. Uma função com a = 0 é chamada de função constante, e seu gráfico é uma reta horizontal.

O coeficiente angular, as equações da reta e as condições de paralelismo e perpendicularismo estão no guia de geometria analítica.

Erros mais comuns

  • Trocar os coeficientes angular e linear na função afim.
  • Esquecer o sinal negativo de b no cálculo do x do vértice, −b ÷ 2a.
  • Confundir o x do vértice, que dá a quantidade, com o y do vértice, que dá o valor máximo ou mínimo.
  • Achar que toda parábola tem máximo: com a positivo, o vértice é mínimo.
  • Esquecer as unidades do enunciado, como centenas de unidades ou milhares de reais.

Revisão rápida

Antes da prova, confira: na afim, a é a taxa de variação e b o valor inicial; a raiz é −b/a; na quadrática, a define a concavidade; o vértice tem x = −b/2a e y = −Δ/4a; e o x do vértice fica no meio das raízes.

Desenhe um esboço rápido do gráfico sempre que possível: ele ajuda a conferir a resposta.

Exercícios com respostas

  1. Em f(x) = −3x + 12, a função é crescente ou decrescente? Qual a raiz?
  2. Qual o valor mínimo de f(x) = x² − 4x + 7?
  3. Um celular custa R$ 1.200 e perde R$ 150 de valor por ano. Qual a função do valor em x anos, e em quantos anos ele vale R$ 450?

Respostas: 1. Decrescente, porque a = −3; raiz x = 4. 2. O x do vértice é 2, e f(2) = 4 − 8 + 7 = 3. 3. V(x) = 1.200 − 150x; 1.200 − 150x = 450 leva a x = 5 anos.

A função exponencial e os logaritmos estão no guia de exponencial e logaritmos.

Como o tema cai em prova

As questões mais comuns pedem para montar a função a partir de um enunciado, interpretar os coeficientes, calcular a raiz ou o ponto de equilíbrio e encontrar o valor máximo ou mínimo pelo vértice. Antes de calcular, identifique se a função é afim ou quadrática e, na quadrática, o sinal de a, que diz se o vértice é máximo ou mínimo. Registre os erros no caderno de erros. As aplicações financeiras estão no guia de matemática financeira.

Perguntas frequentes

O que indica o coeficiente angular da função afim?

Na função f(x) = ax + b, o coeficiente a indica a taxa de variação: quanto f aumenta ou diminui quando x aumenta uma unidade. Se a é positivo, a função é crescente; se é negativo, decrescente.

Como calcular o vértice da parábola?

O x do vértice é −b/2a, e o y do vértice é −Δ/4a, ou simplesmente o valor da função no x do vértice. Se a é negativo, o vértice é ponto de máximo; se é positivo, de mínimo.

Como achar o lucro máximo em uma função quadrática?

Se o lucro é dado por uma função com a negativo, o lucro máximo ocorre no x do vértice. Em L(x) = −x² + 40x − 300, o máximo ocorre em x = 20, com lucro de 100.

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